3.3. Простейшие тарифы в страховании пенсий

Пенсионные контракты являются логичным продолжением контрактов страхования жизни. Первая простейшая пенсионная задача – надо создать пенсионный фонд и потом из него получать пенсионные выплаты.

А Единовременное формирование пенсионного фонда

Человек желает получать ежегодную пенсию в размере SS в течение срока k лет (или пожизненно). Какую сумму он должен единовременно внести в страховую компанию в качестве пенсионного фонда?

Составим уравнение актуарного баланса:

Взнос происходит 1 раз, в размере SS∙T, выплаты по окончании каждого истекшего страхового года в течение k лет:

Согласно принятым в актуарной математике обозначениям в этой конкретной задаче наш тариф равен T=_ka_x и называется немедленный срочный аннуитет постнумерандо. Заменим его и сделаем обычные актуарные преобразования:

Домножая каждый сомножитель на v^x/v^x и помня, что l_x v^x=D_x, сначала получим

Затем -

Заменяя D_x+⋯D_ω=N_x, получим

(1)

Полученное выражение называется:

• цена срочной немедленной ренты, выплачиваемой страхователю в течение k лет
• срочная страховая рента
• немедленный временной аннуитет.

Если положить k->ω, то полученный аннуитет превращается в немедленный пожизненный аннуитет постнумерандо:

(2)

Приведем пример расчетов:
Какую сумму единовременно человек в возрасте 45 лет должен внести в страховую компанию, чтобы, начиная с 60 лет, получать ежегодную пенсию в размере 12 000 долл. –
а) в течение 10 лет?
б) пожизненно?

Решение:
Пользуясь Таблицами смертности, рассчитаем цену этой срочной ренты, если выплаты будут продолжаться 15 лет:

Размер единовременного взноса:

А если выплаты будут продолжаться, пока застрахованный жив (пожизненно), то цена ренты равна

а сумма взноса на получение пожизненной ренты:

Как видим, сумма довольно значительная, поэтому естественное решение – разбить ее на ежегодные взносы. Так возникает вторая пенсионная задача.

B Ежегодный взнос на формирование пенсионного фонда

Человек желает накопить пенсионный фонд в течение n лет, чтобы затем в течение k лет (или пожизненно) получать ежегодную пенсию в размере SS. Каков должен быть его размер ежегодного взноса?

Составим уравнение актуарного баланса:
Обозначим тариф через _na_x:k
Взнос происходит n раз, начиная с момента заключения договора, поэтому пользуясь Задачей¹ о размере ежегодного взноса на дожитие , можно утверждать, что размер пенсионного фонда, накопленного через n лет, будет равен

Выплаты из этого пенсионного фонда будут происходить в течение k лет по окончании каждого истекшего страхового года:

Приравняем, получим:

или

Очевидно,

и далее:

И окончательно:

(3)

Если положить k->ω, то есть застрахованный желает получать пенсию пожизненно, то полученный аннуитет превращается в немедленный ежегодный взнос пожизненной ренты:

(4)

Приведем пример расчетов:

Какую сумму в течение n=15 лет единовременно человек в возрасте 45 лет должен ежегодно вносить в страховую компанию, чтобы, начиная с 60 лет, получать ежегодную пенсию в размере 12 000 долл. –
а) в течение k=10 лет?
б) пожизненно?

Решение:
Пользуясь Таблицами смертности и формулой (3), получаем следующие результаты:

В пересчете на выплату пенсии в размере 12 тыс. долл. в год в течение 10 лет, сумма ежегодного взноса составит

Если же застрахованный заключает контракт на пожизненное пенсионное обеспечение, то тариф 15-летней программы будет равен

а размер единовременного взноса пожизненной пенсионной программы:

Размер ежегодного взноса можно сильно уменьшить, если разнести по времени моменты формирования пенсионного фонда и начало пенсионных выплат. Так возникает третья стандартная пенсионная задача, опирающаяся на первую:

С Формирование пенсионного фонда с отсрочкой начала выплат

Какую сумму страхователь должен единовременно внести в страховую компанию в качестве пенсионного фонда, если он желает получать пенсионные выплаты в размере SS в течение в течение k лет (или пожизненно), но с условием, что выплаты начнутся с отсрочкой в m лет?

Такие ренты называются соответственно срочная отложенная и пожизненная отложенная ренты. Легко показать, что приведенная (пренумерандо) срочная отложенная рента равна:

(5)

а пожизненная, когда k->ω, равна

(6)

Посчитаем и сравним полученные результаты с полученными в первой пенсионной задаче.

Пример: Какую сумму человек в возрасте 25 лет должен ежегодно вносить в страховую компанию в течение 15 лет, чтобы, спустя 20 лет, т. е. начиная с 60 лет, получать ежегодную пенсию в размере 12 000 руб. –
а) в течение 10 лет?
б) пожизненно?

Решение:
При условии получения пенсии в течение 10 лет, начиная от 60-летнего возраста:

Или из расчета в 12 000 в год:

Напомним, что для 45-летнего такой взнос был равен 117 тыс. долл.
Теперь посчитаем цену приведенной пожизненной отложенной ренты:

(6)

Из расчета в 12 000 в год:

Напомним, что единовременная стоимость пенсионного фонда с пожизненными выплатами 12 тыс. в год для 45-летнего мужчины была 170 340,14 долл.

Общий вывод из приведенных примеров – пенсионную программу нужно начинать как можно раньше и, желательно, комбинировать ее с банковскими продуктами.