Институт Страхового и Инвестиционного Бизнеса
Институт страхового
и инвестиционного бизнеса
Continuous effort – not strength or intelligence – is the key to unlocking your potential. Winston Churchill
+7(912)121-03-44
+7(916)134-04-65
НАПИШИТЕ НАМ
  ИДПО ИСИБ
  Профессии
  Предметы
  Курсы
  Вакансии
Заказать обратный звонок
Главная > 3.2. Простейшие тарифы в страховании жизни

3.2. Простейшие тарифы в страховании жизни

       Когда страхователь заключает договор страхования жизни, то, как этого требует ст. 942 ГК РФ, он должен договориться со страховщиком по следующим пунктам:

  • о застрахованном лице,
  • о характере события, на случай которого осуществляется страхование, размер страховой суммы,
  • страховой сумме
  • и сроке действия договора.

       Цена контракта (тариф) не относится к существенным условиям договора страхования, но именно о тарифе пойдет речь в настоящем разделе.

       Исходной точкой построение простейших контрактов (тарифов) по страхованию жизни является основное уравнение актуарного баланса, которое прямо вытекает из принципа экономической эквивалентности, рассмотренных нами в сюжете Принципы страхования.

       Этот принцип экономической эквивалентности прямо вытекает из ст. 2 Закона 4015-1 и требует, чтобы собранные страховщиками страховые фонды шли на осуществление страховых выплат:

Sсобранных премий=Sпроизведенных выплат

Введем следующие обозначения:
       N - общее число страхователей, заключивших договор страхования;
       Sп - сумма уплаченной премии по одному договору;
       k - общее число наступивших страховых случаев по договорам этого типа;
        - сумма выплаты по одному договору.

В этих обозначениях уравнение актуарного баланса будет выглядеть следующим образом:

N Sп=k Sв

(1)

       Это уравнение называется основным, потому что именно из него следует вся теория построения всех шести простейших страховых тарифов по страхованию жизни.
       Рассмотрим первую задачу, которая носит название

1. Единовременная нетто-ставка на дожитие

       Допустим, мужчина 45 лет желает застраховаться на 15 лет. Страховое событие - благополучное прожитие в течение всего этого срока, т. е. дожитие до 60 лет - именно поэтому этот контракт называется контракт на дожитие до возраста или срока. Страхователь он получит страховую выплату в объеме записанной в договоре страховой суммы, если он благополучно доживает до 60.
Какова величина единовременного страхового взноса?

       Ясно, что размер единовременного страхового взноса есть произведение тарифа на страховую сумму - это прямо следует из ст. 11 Закона 4015-1, поэтому искать будем тариф - нетто-ставку. Согласно Международной актуарной нотации такой тариф обозначается - nEx Здесь x - возраст вступления в договор, n - срок договора.

       Запишем условие задачи в общем виде: мужчина в возрасте x лет покупает контракт на дожитие в течение n лет. Какова единовременная нетто-ставка на дожитие?

Решение:
       Определим N. В нашем случае это все мужчины, живущие в возрасте x лет, т. е. согласно общепринятой системе актуарных обозначений - lx
       Теперь опеределим сумму премии Sп - т.е. произведение тарифа на страховую сумму SS, о которой страхователь договорился со страховщиком:

Sп =n Ex SS

       Очевидно, до возраста x+n доживут lx+n
       Поскольку выплата будет произведена в размере SS через n лет, ее нужно дисконтировать вв современную стоимость. Формула дисконтирования известна: 

 т. е. в наших обозначениях -

Sв=SS vn

       Соберем все уравнение в новых обозначениях:

lxn Ex SS=lx+n SS vn

 Сократим на SS (тариф действительно не должен зависеть от страховой суммы) и разделим обе части на lx:

(2)

В принципе, это и есть ответ на поставленный вопрос. Имея под рукой Таблицу смертности, Excel и заданное значение i это можно легко посчитать. Однако на практике специалисты используют так называемые коммутационные функции Dx, Nx, Sx, Cx, Mx, Rx,

Проведем следующее «актуарное преобразование» - домножим и разделим правую часть (2) на vx

       Если обозначить lx vx=Dx , то формула (2) приобретет компактный вид:

(3)

        Задача решена, осталось взять данные D45 и D45+15 в Таблице смертности и все посчитать в цифрах:

        Если положить страховую сумму равной 100 000 долл, то цена контракта будет равна

Sп =15 E45 SS=0,4145716 ∙100 000=41 457,16 долл.

       Понятно, что такой контракт продать будет затруднительно, и главная причина затруднения будет заключаться в том, страховую выплату получат только дожившие, а «не дожившие» - не получат ничего. В личном страховании это не проходит, потому нужно разработать второй контракт, который называется

 

2. Единовременная нетто-ставка на случай смерти

       Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет. Страховое событие - смерть в любой год в течение срока действия договора, т. е. страховую выплату в объеме записанной в договоре страховой суммы получит застрахованное лицо, указанное в договоре в случае смерти страхователя.
Какова величина единовременного страхового взноса?

       Запишем условие задачи в общем виде: мужчина в возрасте x лет покупает контракт на случай смерти по любой причине в течение предстоящих n лет. Этот контракт называется страхование жизни на случай смерти в течение срока, и его частным случаем является контракт пожизненного страхование жизни на случай смерти.

Решение:
       Запишем исходное уравнение актуарного баланса. В левой части запишем произведение идеального числа вступающих в договор, т. е. lx , на величину единичной страховой премии, т. е. на единовременную нетто-ставку n Ax и на страховую сумму SS.

lxn Ax∙SS

Что касается правой части - то, очевидно, кто-то умрет в течение первого же года действия договора, это число обозначим dx , и по этим договорам нужно будет выплатить сумму SS, дисконтированную на один год, т. е dxSS v1

Кто-то умрет во второй год действия договора, их будет lx+1 приведенная стоимость выплаты, полученной сегодня, будет равна dx+1 SS v2. Общее число слагаемых будет n-1, потому что годом с индексом «1» был на самом деле «нулевой» год, что хорошо видно по степени последнего коэффициента дисконтирования. Целиком исходное уравнение будет выглядеть следующим образом:

lxn Ax∙SS=dx SS v1+dx+1 SS v2+⋯+dx+n-1 SS vn-1

Если поделить обе части на lx SS , получим

(4)

       Это и есть математический вид единовременной нетто-ставки на случай смерти в договоре на срок.
Чтобы кардинально упростить эту формулу, нам опять потребуются коммутационные функции. Проведем актуарное преобразование - домножим и разделим каждое слагаемое правой части уравнения (4) на vx

 или

 В знаменателе уже знакомая нам группа lxvx=Dx
Обозначим dx vx+1=Cx получим:

Теперь в числителе добавим и отнимем группу Сx+nx+n+1+⋯+Сω, где ω - предельный возраст дожития, т. е. последняя строка Таблице смертности

 

       Введем коммутационную функцию ∑i=xω Ci=Mx и получим

(5)

       Формула (5) используется как рабочая формула для вычисления единовременной нетто-ставки на случай смерти в договоре на срок.
Из нее легко получить единовременную нетто-ставку на случай смерти в договоре пожизненного страхования. В этом случае срок договора отодвигается до предельного возраста ω, при котором Mx=0. Поэтому нетто-ставка на случай смерти в договоре пожизненного страхования равна:

(6)

       Посчитаем для заданных условий для (5): 

 

       Если положить страховую сумму равной 100 000 долл,, то цена контракта будет равна

Sп =15A45SS=0,0900128∙100 000=9 001,28 долл.

        Теперь посчитаем нетто-ставку на смерть при пожизненном страховании:  

       Если страховую сумму равной 100 000 долл,, то цена контракта пожизненного страхования на случай смерти будет равна 

Sп= A45 SS=0,2763482∙100 000=27 634,82 долл. 

       Интересно, что контракт на страхования жизни на случай смерти на срок тоже очень редко продается самостоятельно. Чаще всего речь идет о страховании, когда страхователь получает страховую защиту на срок как по случаю дожития, так и по случаю смерти - это третий тип контракта, и его тариф

 

3. Единовременная нетто-ставка
по смешанному страхованию жизни (ССЖ)


       Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет. Страховые события - дожитие до 60 лет или смерть в любой год в течение срока действия договора, т.е. страхователь или застрахованное лицо получат страховую выплату в объеме записанной в договоре страховой суммы в любом из этих случаев. Какова величина единовременного страхового взноса?

Решение:
       Единовременная нетто-ставка на дожитие до возраста или срока -

       Единовременная нетто-ставка на случай смерти в договоре на срок  

Сложим их: 

(7)

И и посчитаем в цифрах: 

nEx +nAx=0,4145716+0,0900128=0,5045844 

       Для страховой суммы в 100 000 долл., единовременная нетто-цена такого контракта будет равна 50 458,44 долл.
       Сумма довольно высокая, поэтому желающих ее стазу внести в виде единовременной страховой премии будет немного. Выход один - попытаться разбить ее на ежегодные взносы.

 

D Ежегодный взнос в контракте на дожитие до возраста или срока

Задача:

Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие, но страховой взнос заплатить не единовременно, а равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Сформируем исходное уравнение актуарного баланса.
В левой части будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые lx человек внесут lx Sп рублей. К началу второго года их останется lx+1 человек и каждый их них внесет сумму премии Sп, дисконтированную на 1 год, т. е. lx+1 Sп v1, в начале третьего год течения договора уже только lx+2 человек внесут сумму премии Sп, дисконтированную на 2 года, т. е. lx+1 Sп v2 и т. д. Когда до окончания договора останется 1 последний год, то в начале этого последнего года lx+n-1 человек внесут по Sп vn-1.
Правая часть уравнения - сумма выплат Sв тем lx+n человек, которые доживут до конца действия договора. Итого:

lx Sп+lx+1 Sп v1+lx+2 Sп v2+...+lx+n-1 Sп vn-1=lx+n Sв


Обозначим искомый тариф ежегодного взноса как xPn и положим, что Sп =nPx SS и Sв=SS vn. Получим:

lx nPx SS+lx+1 nPx SSv1+lx+2 nPx SSv2+...+lx+n-1 nPx SS vn-1=lx+n SS vn


Очевидно на SS можно сократить, а nPx вынести за скобки. После этого разделим обе части уравнения на lx , получим:


Выражение в скобках называется страховой аннуитет пренумерандо и обозначается näx , а правая часть, согласно (2) равна


Таким образом:

nPxnäx =nEx

Откуда понятно, что

(3.2.1)
Здесь был получен важный методологический результат: если мы имеем ставку единовременного взноса, то, чтобы получить ставку ежегодного взноса, ее нужно разделить на соответствующий условиям контракта страховой аннуитет.  (3.2.2) 

Теперь остается радикально упростить выражение näx - страховой аннуитет пренумерандо:

(3.2.3)

Домножим и разделим каждое слагаемое на vx:


Вспомним, что lx vx=Dx


В числителе дроби находится сумма всех Dx от возраста вхождения в договор до Dx+n-1. Будет логично добавить и отнять сумму всех D от следующей Dx+n до предельного возраста дожития Dω :


Теперь введем новую коммутационную функцию Nx :

Dx+Dx+1+Dx+2+...+Dx+n-1+Dx+n+...+Dω= Nx

и получим искомую формулу для страхового аннуитета пренумерандо:

(3.2.4)

Подставим полученное выражение в 10.2.1 и найдем рабочую формулу нетто-ставки ежегодного взноса в контракте на дожитие до возраста или срока:

(3.2.5)

Легко убедиться, что


Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 3 984,42 долл.

E Ежегодный взнос в контракте по страхованию жизни на случай смерти

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на случай смерти с условием выплат страховой премии равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Эту задачу можно решить как через традиционное составление исходного уравнения актуарного баланса, так и исходя из принципа 10.2.2.
Левая часть уравнения будет идентична предыдущей задаче: в ней будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые lx человек внесут lx Sп рублей, потом lx+1 человек внесет сумму премии Sп v1, и т. д. до того как в начале последнего года lx+n-1 человек внесут по Sп vn-1.
Правая часть уравнения состоит из выплат бенефициарам, как это было в расчете единовременного взноса:
Целиком исходное уравнение будет выглядеть следующим образом:

lx Sп+lx+1 Sп v1+lx+2 Sп v2+...+lx+n-1 Sп vn-1=dx SS v1+dx+1 SS v2+...+dx+n-1 SS vn-1

Обозначим искомую ставку ежегодного взноса за nP*x и проделаем те же преобразования, что и в предыдущем контракте:

lx nP*x SS+lx+1 nP*x SS v1+...+lx+n-1 nP*x vn-1=dSS v1+dx+1 SS v2+...+dx+n-1 SS vn-1

Делим на SS, выносим nP*x за скобки и делим обе части уравнения на lx


Очевидно, что выражение в первой скобке - это страховой аннуитет пренумерандо näx , который был получен в формуле 10.2.3, а во второй скобке - единовременная нетто-ставка на смерть nAx , (см. 10.1.4):

nP*x ∙näx =nAx

И окончательно, в полном согласии с принципом 10.2.2:

(3.2.6)

Теперь то же, используя для nAx 10.1.5 и для näx 10.2.4, получим:

(3.2.7)

Это и есть нетто-ставка ежегодного взноса в контракте по страхованию жизни на случай смерти.
Посчитаем в цифрах:


Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 865,10 долл.

 

F Ежегодный взнос по смешанному страхованию жизни

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие и на смерть. Страховые события - дожитие или смерть. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
В контракте два страховых риска и тарифы по обоим из них нам известны.
Как и в случае единовременных взносов, будет действовать теорема сложения:


Таким образом, размер ежегодной нетто-ставки по смешанному страхованию жизни для мужчины 45 лет со сроком действия договора 15 лет составит

nPx+nP*x=0,0398442+0,0086510=0,0484952

При сумме в 100 тыс. размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 4849,52 долл.

 

Инна Соловьева
Социальный вычет по НДФЛ
Марина Васильева
Расчет выплаты в ОСАГО
Алексей Касаткин
Страховая Телематика
Алла Бакланова
Расчет ЛСП в страховании НС
Владислав Немерещенко
Бордеро в перестраховании
Вера Новоселова
Несчастный случай
Яндекс.Метрика