10.2. Расчет ежегодного взноса по смешанному страхованию жизни

В предыдущем сюжете было показано, что нетто-цена контракта по смешанному страхованию жизни определялась по формуле:

(7)

Для страховой суммы в 100 000 долл., нетто-цена контракта будет равна 50.458,44 долл. Сумма довольно высокая, поэтому желающих ее сразу внести в виде единовременной страховой премии будет немного. Выход один - попытаться разбить ее на ежегодные взносы.

D Ежегодный взнос в контракте на дожитие до возраста или срока

Задача:

Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие, но страховой взнос заплатить не единовременно, а равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Сформируем исходное уравнение актуарного баланса.
В левой части будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые l_x человек внесут l_x S_п рублей. К началу второго года их останется l_x+1 человек и каждый их них внесет сумму премии S_п, дисконтированную на 1 год, т. е. l_x+1 S_п v¹, в начале третьего год течения договора уже только l_x+2 человек внесут сумму премии S_п, дисконтированную на 2 года, т. е. l_x+1 S_п v² и т. д. Когда до окончания договора останется 1 последний год, то в начале этого последнего года l_x+n-1 человек внесут по S_п v^n-1.
Правая часть уравнения - сумма выплат S_в тем l_x+n человек, которые доживут до конца действия договора. Итого:

Обозначим искомый тариф ежегодного взноса как _xP_n и положим, что S_п =_nP_x SS и S_в=SS vⁿ. Получим:

Очевидно на SS можно сократить, а _nP_x вынести за скобки. После этого разделим обе части уравнения на l_x , получим:

Выражение в скобках называется страховой аннуитет пренумерандо и обозначается _nä_x , а правая часть, согласно (2) равна

Таким образом:

_nP_x ∙_nä_x =_nE_x

Откуда понятно, что

(10.2.1)

Теперь остается радикально упростить выражение _nä_x - страховой аннуитет пренумерандо:

(10.2.3)

Домножим и разделим каждое слагаемое на v^x:

Вспомним, что l_x v_x=D_x

В числителе дроби находится сумма всех D_x от возраста вхождения в договор до D_x+n-1. Будет логично добавить и отнять сумму всех D от следующей D_x+n до предельного возраста дожития D_ω :

Теперь введем новую коммутационную функцию N_x :

D_x+D_x+1+D_x+2+...+D_x+n-1+D_x+n+...+D_ω= N_x

и получим искомую формулу для страхового аннуитета пренумерандо:

(10.2.4)

Подставим полученное выражение в 10.2.1 и найдем рабочую формулу нетто-ставки ежегодного взноса в контракте на дожитие до возраста или срока:

(10.2.5)

Легко убедиться, что

Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 3 984,42 долл.

E Ежегодный взнос в контракте по страхованию жизни на случай смерти

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на случай смерти с условием выплат страховой премии равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Эту задачу можно решить как через традиционное составление исходного уравнения актуарного баланса, так и исходя из принципа 10.2.2.
Левая часть уравнения будет идентична предыдущей задаче: в ней будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые l_x человек внесут l_x S_п рублей, потом l_x+1 человек внесет сумму премии S_п v¹, и т. д. до того как в начале последнего года l_x+n-1 человек внесут по S_п v^n-1.
Правая часть уравнения состоит из выплат бенефициарам, как это было в расчете единовременного взноса:
Целиком исходное уравнение будет выглядеть следующим образом:

l_x S_п+l_x+1 S_п v¹+l_x+2 S_п v²+...+l_x+n-1 S_п v^n-1=d_x SS v¹+d_x+1 SS v²+...+d_x+n-1 SS v^n-1

Обозначим искомую ставку ежегодного взноса за _nP^*_x и проделаем те же преобразования, что и в предыдущем контракте:

l_{x n}P^*_x SS+l_{x+1 n}P^*_x SS v¹+...+l_{x+n-1 n}P^*_x v^n-1=d_x SS v¹+d_x+1 SS v²+...+d_x+n-1 SS v^n-1

Делим на SS, выносим _nP^*x за скобки и делим обе части уравнения на l_x

Очевидно, что выражение в первой скобке - это страховой аннуитет пренумерандо _nä_x , который был получен в формуле 10.2.3, а во второй скобке - единовременная нетто-ставка на смерть _nA_x , (см. 10.1.4):

_nP^*_x ∙_nä_x =_nA_x

И окончательно, в полном согласии с принципом 10.2.2:

(10.2.6)

Теперь то же, используя для _nA_x 10.1.5 и для _nä_x 10.2.4, получим:

(10.2.7)

Это и есть нетто-ставка ежегодного взноса в контракте по страхованию жизни на случай смерти.
Посчитаем в цифрах:

Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 865,10 долл.

F Ежегодный взнос по смешанному страхованию жизни

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие и на смерть. Страховые события - дожитие или смерть. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
В контракте два страховых риска и тарифы по обоим из них нам известны.
Как и в случае единовременных взносов, будет действовать теорема сложения:

Таким образом, размер ежегодной нетто-ставки по смешанному страхованию жизни для мужчины 45 лет со сроком действия договора 15 лет составит

_nP_x+_nP^*_x=0,0398442+0,0086510=0,0484952

При сумме в 100 тыс. размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 4849,52 долл.