Институт Страхового и Инвестиционного Бизнеса
Институт страхового
и инвестиционного бизнеса
Мудрость людей пропорциональна не их опыту, а их способности к его приобретению. Бернард Шоу
+7(912)121-03-44
+7(916)134-04-65
НАПИШИТЕ НАМ
  ИДПО ИСИБ
  Профессии
  Предметы
  Занятия
  Вакансии
Заказать обратный звонок
Главная

10.2. Расчет ежегодного взноса по смешанному страхованию жизни

В предыдущем сюжете было показано, что нетто-цена контракта по смешанному страхованию жизни определялась по формуле:

(7)

Для страховой суммы в 100 000 долл., нетто-цена контракта будет равна 50.458,44 долл. Сумма довольно высокая, поэтому желающих ее сразу внести в виде единовременной страховой премии будет немного. Выход один - попытаться разбить ее на ежегодные взносы.

 

D Ежегодный взнос в контракте на дожитие до возраста или срока

Задача:

Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие, но страховой взнос заплатить не единовременно, а равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Сформируем исходное уравнение актуарного баланса.
В левой части будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые lx человек внесут lx Sп рублей. К началу второго года их останется lx+1 человек и каждый их них внесет сумму премии Sп, дисконтированную на 1 год, т. е. lx+1 Sп v1, в начале третьего год течения договора уже только lx+2 человек внесут сумму премии Sп, дисконтированную на 2 года, т. е. lx+1 Sп v2 и т. д. Когда до окончания договора останется 1 последний год, то в начале этого последнего года lx+n-1 человек внесут по Sп vn-1.
Правая часть уравнения - сумма выплат Sв тем lx+n человек, которые доживут до конца действия договора. Итого:

lx Sп+lx+1 Sп v1+lx+2 Sп v2+...+lx+n-1 Sп vn-1=lx+n Sв


Обозначим искомый тариф ежегодного взноса как xPn и положим, что Sп =nPx SS и Sв=SS vn. Получим:

lx nPx SS+lx+1 nPx SSv1+lx+2 nPx SSv2+...+lx+n-1 nPx SS vn-1=lx+n SS vn


Очевидно на SS можно сократить, а nPx вынести за скобки. После этого разделим обе части уравнения на lx , получим:


Выражение в скобках называется страховой аннуитет пренумерандо и обозначается näx , а правая часть, согласно (2) равна


Таким образом:

nPxnäx =nEx

Откуда понятно, что

(10.2.1)
Здесь был получен важный методологический результат: если мы имеем ставку единовременного взноса, то, чтобы получить ставку ежегодного взноса, ее нужно разделить на соответствующий условиям контракта страховой аннуитет.  (10.2.2) 

Теперь остается радикально упростить выражение näx - страховой аннуитет пренумерандо:

(10.2.3)

Домножим и разделим каждое слагаемое на vx:


Вспомним, что lx vx=Dx


В числителе дроби находится сумма всех Dx от возраста вхождения в договор до Dx+n-1. Будет логично добавить и отнять сумму всех D от следующей Dx+n до предельного возраста дожития Dω :


Теперь введем новую коммутационную функцию Nx :

Dx+Dx+1+Dx+2+...+Dx+n-1+Dx+n+...+Dω= Nx

и получим искомую формулу для страхового аннуитета пренумерандо:

(10.2.4)

Подставим полученное выражение в 10.2.1 и найдем рабочую формулу нетто-ставки ежегодного взноса в контракте на дожитие до возраста или срока:

(10.2.5)

Легко убедиться, что


Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 3 984,42 долл.

E Ежегодный взнос в контракте по страхованию жизни на случай смерти

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на случай смерти с условием выплат страховой премии равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Эту задачу можно решить как через традиционное составление исходного уравнения актуарного баланса, так и исходя из принципа 10.2.2.
Левая часть уравнения будет идентична предыдущей задаче: в ней будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые lx человек внесут lx Sп рублей, потом lx+1 человек внесет сумму премии Sп v1, и т. д. до того как в начале последнего года lx+n-1 человек внесут по Sп vn-1.
Правая часть уравнения состоит из выплат бенефициарам, как это было в расчете единовременного взноса:
Целиком исходное уравнение будет выглядеть следующим образом:

lx Sп+lx+1 Sп v1+lx+2 Sп v2+...+lx+n-1 Sп vn-1=dx SS v1+dx+1 SS v2+...+dx+n-1 SS vn-1

Обозначим искомую ставку ежегодного взноса за nP*x и проделаем те же преобразования, что и в предыдущем контракте:

lx nP*x SS+lx+1 nP*x SS v1+...+lx+n-1 nP*x vn-1=dSS v1+dx+1 SS v2+...+dx+n-1 SS vn-1

Делим на SS, выносим nP*x за скобки и делим обе части уравнения на lx


Очевидно, что выражение в первой скобке - это страховой аннуитет пренумерандо näx , который был получен в формуле 10.2.3, а во второй скобке - единовременная нетто-ставка на смерть nAx , (см. 10.1.4):

nP*x ∙näx =nAx

И окончательно, в полном согласии с принципом 10.2.2:

(10.2.6)

Теперь то же, используя для nAx 10.1.5 и для näx 10.2.4, получим:

(10.2.7)

Это и есть нетто-ставка ежегодного взноса в контракте по страхованию жизни на случай смерти.
Посчитаем в цифрах:


Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 865,10 долл.

 

F Ежегодный взнос по смешанному страхованию жизни

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие и на смерть. Страховые события - дожитие или смерть. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
В контракте два страховых риска и тарифы по обоим из них нам известны.
Как и в случае единовременных взносов, будет действовать теорема сложения:


Таким образом, размер ежегодной нетто-ставки по смешанному страхованию жизни для мужчины 45 лет со сроком действия договора 15 лет составит

nPx+nP*x=0,0398442+0,0086510=0,0484952

При сумме в 100 тыс. размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 4849,52 долл.

 

Инна Соловьева
Социальный вычет по НДФЛ
Марина Васильева
Расчет выплаты в ОСАГО
Алексей Касаткин
Страховая Телематика
Алла Бакланова
Расчет ЛСП в страховании НС
Владислав Немерещенко
Бордеро в перестраховании
Вера Новоселова
Несчастный случай
Яндекс.Метрика