3.2. Простейшие тарифы в страховании жизни

Когда страхователь заключает договор страхования жизни, то, как этого требует ст. 942 ГК РФ, он должен договориться со страховщиком по следующим пунктам:

• о застрахованном лице,
• о характере события, на случай которого осуществляется страхование, размер страховой суммы,
• страховой сумме
• и сроке действия договора.

Цена контракта (тариф) не относится к существенным условиям договора страхования, но именно о тарифе пойдет речь в настоящем разделе.

Исходной точкой построение простейших контрактов (тарифов) по страхованию жизни является основное уравнение актуарного баланса, которое прямо вытекает из принципа экономической эквивалентности, рассмотренных нами в сюжете Принципы страхования.

Этот принцип экономической эквивалентности прямо вытекает из ст. 2 Закона 4015-1 и требует, чтобы собранные страховщиками страховые фонды шли на осуществление страховых выплат:

S_{собранных премий}=S_{произведенных выплат}

Введем следующие обозначения:
N - общее число страхователей, заключивших договор страхования;
Sп - сумма уплаченной премии по одному договору;
k - общее число наступивших страховых случаев по договорам этого типа;
Sв - сумма выплаты по одному договору.

В этих обозначениях уравнение актуарного баланса будет выглядеть следующим образом:

N Sп=k Sв

(1)

Это уравнение называется основным, потому что именно из него следует вся теория построения всех шести простейших страховых тарифов по страхованию жизни.
Рассмотрим первую задачу, которая носит название

1. Единовременная нетто-ставка на дожитие

Допустим, мужчина 45 лет желает застраховаться на 15 лет. Страховое событие - благополучное прожитие в течение всего этого срока, т. е. дожитие до 60 лет - именно поэтому этот контракт называется контракт на дожитие до возраста или срока. Страхователь он получит страховую выплату в объеме записанной в договоре страховой суммы, если он благополучно доживает до 60.
Какова величина единовременного страхового взноса?

Ясно, что размер единовременного страхового взноса есть произведение тарифа на страховую сумму - это прямо следует из ст. 11 Закона 4015-1, поэтому искать будем тариф - нетто-ставку. Согласно Международной актуарной нотации такой тариф обозначается - _nE_x Здесь x - возраст вступления в договор, n - срок договора.

Запишем условие задачи в общем виде: мужчина в возрасте x лет покупает контракт на дожитие в течение n лет. Какова единовременная нетто-ставка на дожитие?

Решение:
Определим N. В нашем случае это все мужчины, живущие в возрасте x лет, т. е. согласно общепринятой системе актуарных обозначений - l_x
Теперь опеределим сумму премии S_п - т.е. произведение тарифа на страховую сумму SS, о которой страхователь договорился со страховщиком:

S_п =_n E_x SS

Очевидно, до возраста x+n доживут l_x+n
Поскольку выплата будет произведена в размере SS через n лет, ее нужно дисконтировать вв современную стоимость. Формула дисконтирования известна:

т. е. в наших обозначениях -

S_в=SS vⁿ

Соберем все уравнение в новых обозначениях:

l_x ∙_n E_x SS=l_x+n SS vⁿ

Сократим на SS (тариф действительно не должен зависеть от страховой суммы) и разделим обе части на l_x:

(2)

В принципе, это и есть ответ на поставленный вопрос. Имея под рукой Таблицу смертности, Excel и заданное значение i это можно легко посчитать. Однако на практике специалисты используют так называемые коммутационные функции D_x, N_x, S_x, C_x, M_x, R_x,

Проведем следующее «актуарное преобразование» - домножим и разделим правую часть (2) на v^x:

Если обозначить l_x v^x=D_x , то формула (2) приобретет компактный вид:

(3)

Задача решена, осталось взять данные D₄₅ и D₄₅₊₁₅ в Таблице смертности и все посчитать в цифрах:

Если положить страховую сумму равной 100 000 долл, то цена контракта будет равна

S_п =₁₅ E₄₅ SS=0,4145716 ∙100 000=41 457,16 долл.

Понятно, что такой контракт продать будет затруднительно, и главная причина затруднения будет заключаться в том, страховую выплату получат только дожившие, а «не дожившие» - не получат ничего. В личном страховании это не проходит, потому нужно разработать второй контракт, который называется

2. Единовременная нетто-ставка на случай смерти

Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет. Страховое событие - смерть в любой год в течение срока действия договора, т. е. страховую выплату в объеме записанной в договоре страховой суммы получит застрахованное лицо, указанное в договоре в случае смерти страхователя.
Какова величина единовременного страхового взноса?

Запишем условие задачи в общем виде: мужчина в возрасте x лет покупает контракт на случай смерти по любой причине в течение предстоящих n лет. Этот контракт называется страхование жизни на случай смерти в течение срока, и его частным случаем является контракт пожизненного страхование жизни на случай смерти.

Решение:
Запишем исходное уравнение актуарного баланса. В левой части запишем произведение идеального числа вступающих в договор, т. е. l_x , на величину единичной страховой премии, т. е. на единовременную нетто-ставку _n A_x и на страховую сумму SS.

l_x ∙_n A_x∙SS

Что касается правой части - то, очевидно, кто-то умрет в течение первого же года действия договора, это число обозначим d_x , и по этим договорам нужно будет выплатить сумму SS, дисконтированную на один год, т. е d_xSS v¹

Кто-то умрет во второй год действия договора, их будет l_x+1 приведенная стоимость выплаты, полученной сегодня, будет равна d_x+1 SS v². Общее число слагаемых будет n-1, потому что годом с индексом «1» был на самом деле «нулевой» год, что хорошо видно по степени последнего коэффициента дисконтирования. Целиком исходное уравнение будет выглядеть следующим образом:

l_x ∙_n A_x∙SS=d_x SS v¹+d_x+1 SS v²+⋯+d_x+n-1 SS v^n-1

Если поделить обе части на l_x SS , получим

(4)

Это и есть математический вид единовременной нетто-ставки на случай смерти в договоре на срок.
Чтобы кардинально упростить эту формулу, нам опять потребуются коммутационные функции. Проведем актуарное преобразование - домножим и разделим каждое слагаемое правой части уравнения (4) на v^x:

или

В знаменателе уже знакомая нам группа l_xv^x=D_x
Обозначим d_x v^x+1=C_x получим:

Теперь в числителе добавим и отнимем группу С_x+n+С_x+n+1+⋯+С_ω, где ω - предельный возраст дожития, т. е. последняя строка Таблице смертности.

Введем коммутационную функцию ∑_i=x^ω C_i=M_x и получим

(5)

Формула (5) используется как рабочая формула для вычисления единовременной нетто-ставки на случай смерти в договоре на срок.
Из нее легко получить единовременную нетто-ставку на случай смерти в договоре пожизненного страхования. В этом случае срок договора отодвигается до предельного возраста ω, при котором M_x=0. Поэтому нетто-ставка на случай смерти в договоре пожизненного страхования равна:

(6)

Посчитаем для заданных условий для (5):

Если положить страховую сумму равной 100 000 долл,, то цена контракта будет равна

S_п =₁₅A₄₅SS=0,0900128∙100 000=9 001,28 долл.

Теперь посчитаем нетто-ставку на смерть при пожизненном страховании:

Если страховую сумму равной 100 000 долл,, то цена контракта пожизненного страхования на случай смерти будет равна

S_п= A₄₅ SS=0,2763482∙100 000=27 634,82 долл.

Интересно, что контракт на страхования жизни на случай смерти на срок тоже очень редко продается самостоятельно. Чаще всего речь идет о страховании, когда страхователь получает страховую защиту на срок как по случаю дожития, так и по случаю смерти - это третий тип контракта, и его тариф

3. Единовременная нетто-ставка
по смешанному страхованию жизни (ССЖ)

Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет. Страховые события - дожитие до 60 лет или смерть в любой год в течение срока действия договора, т.е. страхователь или застрахованное лицо получат страховую выплату в объеме записанной в договоре страховой суммы в любом из этих случаев. Какова величина единовременного страхового взноса?

Решение:
Единовременная нетто-ставка на дожитие до возраста или срока -

Единовременная нетто-ставка на случай смерти в договоре на срок

Сложим их:

(7)

И и посчитаем в цифрах:

_nE_x +_nA_x=0,4145716+0,0900128=0,5045844

Для страховой суммы в 100 000 долл., единовременная нетто-цена такого контракта будет равна 50 458,44 долл.
Сумма довольно высокая, поэтому желающих ее стазу внести в виде единовременной страховой премии будет немного. Выход один - попытаться разбить ее на ежегодные взносы.

D Ежегодный взнос в контракте на дожитие до возраста или срока

Задача:

Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие, но страховой взнос заплатить не единовременно, а равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Сформируем исходное уравнение актуарного баланса.
В левой части будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые l_x человек внесут l_x S_п рублей. К началу второго года их останется l_x+1 человек и каждый их них внесет сумму премии S_п, дисконтированную на 1 год, т. е. l_x+1 S_п v¹, в начале третьего год течения договора уже только l_x+2 человек внесут сумму премии S_п, дисконтированную на 2 года, т. е. l_x+1 S_п v² и т. д. Когда до окончания договора останется 1 последний год, то в начале этого последнего года l_x+n-1 человек внесут по S_п v^n-1.
Правая часть уравнения - сумма выплат S_в тем l_x+n человек, которые доживут до конца действия договора. Итого:

lx Sп+lx+1 Sп v1+lx+2 Sп v2+...+lx+n-1 Sп vn-1=lx+n Sв

Обозначим искомый тариф ежегодного взноса как _xP_n и положим, что S_п =_nP_x SS и S_в=SS vⁿ. Получим:

lx nPx SS+lx+1 nPx SSv1+lx+2 nPx SSv2+...+lx+n-1 nPx SS vn-1=lx+n SS vn

Очевидно на SS можно сократить, а _nP_x вынести за скобки. После этого разделим обе части уравнения на l_x , получим:

Выражение в скобках называется страховой аннуитет пренумерандо и обозначается _nä_x , а правая часть, согласно (2) равна

Таким образом:

_nP_x ∙_nä_x =_nE_x

Откуда понятно, что

(3.2.1)

Здесь был получен важный методологический результат: если мы имеем ставку единовременного взноса, то, чтобы получить ставку ежегодного взноса, ее нужно разделить на соответствующий условиям контракта страховой аннуитет.

(3.2.2)

Теперь остается радикально упростить выражение _nä_x - страховой аннуитет пренумерандо:

(3.2.3)

Домножим и разделим каждое слагаемое на v^x:

Вспомним, что l_x v_x=D_x

В числителе дроби находится сумма всех D_x от возраста вхождения в договор до D_x+n-1. Будет логично добавить и отнять сумму всех D от следующей D_x+n до предельного возраста дожития D_ω :

Теперь введем новую коммутационную функцию N_x :

D_x+D_x+1+D_x+2+...+D_x+n-1+D_x+n+...+D_ω= N_x

и получим искомую формулу для страхового аннуитета пренумерандо:

(3.2.4)

Подставим полученное выражение в 10.2.1 и найдем рабочую формулу нетто-ставки ежегодного взноса в контракте на дожитие до возраста или срока:

(3.2.5)

Легко убедиться, что

Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 3 984,42 долл.

E Ежегодный взнос в контракте по страхованию жизни на случай смерти

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на случай смерти с условием выплат страховой премии равными ежегодными взносами. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
Эту задачу можно решить как через традиционное составление исходного уравнения актуарного баланса, так и исходя из принципа 10.2.2.
Левая часть уравнения будет идентична предыдущей задаче: в ней будут последовательно накапливаться взносы остающихся в договоре: в первый год первые l_x человек внесут l_x S_п рублей, потом l_x+1 человек внесет сумму премии S_п v¹, и т. д. до того как в начале последнего года l_x+n-1 человек внесут по S_п v^n-1.
Правая часть уравнения состоит из выплат бенефициарам, как это было в расчете единовременного взноса:
Целиком исходное уравнение будет выглядеть следующим образом:

l_x S_п+l_x+1 S_п v¹+l_x+2 S_п v²+...+l_x+n-1 S_п v^n-1=d_x SS v¹+d_x+1 SS v²+...+d_x+n-1 SS v^n-1

Обозначим искомую ставку ежегодного взноса за _nP^*_x и проделаем те же преобразования, что и в предыдущем контракте:

l_{x n}P^*_x SS+l_{x+1 n}P^*_x SS v¹+...+l_{x+n-1 n}P^*_x v^n-1=d_x SS v¹+d_x+1 SS v²+...+d_x+n-1 SS v^n-1

Делим на SS, выносим _nP^*x за скобки и делим обе части уравнения на l_x

Очевидно, что выражение в первой скобке - это страховой аннуитет пренумерандо _nä_x , который был получен в формуле 10.2.3, а во второй скобке - единовременная нетто-ставка на смерть _nA_x , (см. 10.1.4):

_nP^*_x ∙_nä_x =_nA_x

И окончательно, в полном согласии с принципом 10.2.2:

(3.2.6)

Теперь то же, используя для _nA_x 10.1.5 и для _nä_x 10.2.4, получим:

(3.2.7)

Это и есть нетто-ставка ежегодного взноса в контракте по страхованию жизни на случай смерти.
Посчитаем в цифрах:

Если положить страховую сумму в 100 000 долл., то размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 865,10 долл.

F Ежегодный взнос по смешанному страхованию жизни

Задача:
Предлагаем мужчине 45 лет застраховаться на 15 лет на дожитие и на смерть. Страховые события - дожитие или смерть. Каков размер такого единовременного страхового взноса?

Решение:
В контракте два страховых риска и тарифы по обоим из них нам известны.
Как и в случае единовременных взносов, будет действовать теорема сложения:

Таким образом, размер ежегодной нетто-ставки по смешанному страхованию жизни для мужчины 45 лет со сроком действия договора 15 лет составит

_nP_x+_nP^*_x=0,0398442+0,0086510=0,0484952

При сумме в 100 тыс. размер ежегодного взноса в начале каждого нового страхового года составит 4849,52 долл.