Задачи по теме 5

1. Классическая задача о разорении игрока. Два игрока А и В перед
началом игры имеют а и b монет соответственно. Сначала игрок А
подбрасывает монету, а игрок В должен угадать, какой стороной она
выпадет. Если игрок В угадает, то забирает монету себе, если нет –
то отдает свою. После этого они меняются ролями – игрок В подбрасывает,
игрок А отгадывает. Игра завершается, когда один из игроков
проигрывает все монеты. Какова вероятность, что выиграет игрок А?
Игрок В?

2. На i-шаге игры у игроков А и В имеется а и b монет. Каковы возможные
последующие состояния и каковы вероятности перехода в них?
Как называются краевые состояния перехода?

3. Предположим, что общее первоначальное число монет у обоих игроков
равно 3. Составьте матрицу перехода.

4. В городе имеется 2 страховые компании. Ежегодно страхователи (допустим,
ОСАГО) либо остаются в старой компании, либо переходят в другую.
Если страхователь застрахован в Первой компании, то он с вероятностью
0,7 в ней и останется. Страхователи Второй компании остаются в своей
компании с вероятностью 0,6 и переходят в Первую с вероятностью 0,4.
В базисном году страхователи были распределены по обеим компаниям
поровну. Возможно ли предсказать, как распределятся страхователи
по компаниям через, допустим, 6 лет? Если да, то каковы будут эти
процентные соотношения?

5. Допустим, что в городе имеется три компании. Страхователи Первой
остаются в ней на следующий год с вероятностью 0,4, уходят во Вторую
с вероятностью 0,2 и выбирают Третью – с вероятностью 0,4. Аналогично,
клиенты Второй остаются в ней на следующий год с вероятностью 0,5,
уходят в Первую с вероятностью 0,2 и переходят в Третью –
с вероятностью 0,3. Клиенты Третьей остаются в ней с вероятностью 0,6,
уходят в Первую с вероятностью 0,1 и переходят во Вторую с вероятностью
0,3. Если считать предпочтения клиентов постоянными, то через сколько
лет (на каком шаге) будет достигнуто стационарное распределение
клиентов по компаниям?